考研数一 · 高数 56% + 线代 22% + 概统 22%

数学一

微积分 · 线性代数 · 概率论与数理统计。

36 节卡片，覆盖数一全部考点。所有公式 MathJax 渲染；从概念、定理、技巧、典型例题到陷阱，每章都给到底。

高等数学 22节线性代数 7节概率统计 7节 150 分 · 180 min

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36 张卡片完整路线

高数

函数 / 极限定义
极限计算 + 重要极限
等价无穷小
连续 / 间断
导数与微分
复合 / 隐函数 / 参数
中值定理 + 泰勒
导数应用
不定积分
定积分
多元微分
多元极值 / 拉格朗日
重积分
曲线积分
曲面积分 + 三大公式
数项级数
幂级数
傅里叶级数
一阶微分方程
高阶微分方程

线代

行列式
矩阵基本运算
求逆 / 初等变换
向量组相关性
线性方程组
特征值 / 对角化
二次型

概统

概率基础
一维随机变量
多维随机变量
数字特征
大数律 + 中心极限
抽样分布
参数估计
假设检验
整体回顾

01 · 高数

从 ε-N、ε-δ 出发。

数列：$\forall \varepsilon > 0, \exists N$，当 $n > N$ 时，$|x_n - a| < \varepsilon$，记 $\lim_{n\to\infty} x_n = a$.

函数 $x\to x_0$：$\forall \varepsilon, \exists \delta$，当 $0 < |x-x_0| < \delta$ 时，$|f(x)-A| < \varepsilon$.

函数 $x\to\infty$：$\forall \varepsilon, \exists X$，当 $|x| > X$ 时，$|f(x)-A| < \varepsilon$.

唯一性：极限若存在则唯一
局部有界性：极限存在 → 在 $x_0$ 某邻域有界
保号性：极限 $>0$ → $x_0$ 附近 $f(x)>0$
夹逼准则：$g \le f \le h$ 且 $\lim g = \lim h = A \Rightarrow \lim f = A$

定义域 / 值域 / 单调 / 奇偶 / 周期 / 反函数

初等函数：幂、指、对、三角、反三角、常数

合成、四则、求逆运算得到的依然是初等函数。

$\lim_{x\to x_0^-} f$ 和 $\lim_{x\to x_0^+} f$ 都存在且相等 → $\lim_{x\to x_0} f$ 存在.

判断不存在常用此法（如 $\sin(1/x)$ 在 $x\to 0$ 没极限）.

单调有界数列必收敛.

常用于证明递推数列极限存在 + 解方程求值.

02 · 极限计算

两个重要极限 + 常用变形。

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$ $$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e \quad \text{或} \quad \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x} = e$$

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1,\quad \lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$$ $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\tfrac{1}{2}$$ $$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\quad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$$ $$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a$$

Example 1

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

$= \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x(1-\cos x)/\cos x}{x^3} = 1\cdot \tfrac{1}{2} \cdot 1 = \tfrac{1}{2}$

Example 2 · 0·∞

$\lim_{x\to 0^+} x\ln x$

化为 $\frac{\ln x}{1/x}$ ($\infty/\infty$)，用 L'Hospital：$\frac{1/x}{-1/x^2} = -x \to 0$.

Example 3 · 1^∞

$\lim_{x\to 0}(1+\sin x)^{1/x}$

写成 $\exp\left[\frac{\ln(1+\sin x)}{x}\right]$ → $\exp(1) = e$.

形如 $\tfrac{0}{0}$ 或 $\tfrac{\infty}{\infty}$，分子分母可导，且 $\lim\tfrac{f'}{g'}$ 存在或 $\infty$ → 可用.

02 · 等价替换

$x\to 0$ 时的"替身演员"。

$$\sin x \sim x \qquad \tan x \sim x$$ $$\arcsin x \sim x \qquad \arctan x \sim x$$ $$1-\cos x \sim \tfrac{1}{2}x^2$$ $$\ln(1+x)\sim x \qquad e^x - 1 \sim x$$ $$(1+x)^a-1 \sim a x \qquad a^x-1 \sim x\ln a$$ $$x - \sin x \sim \tfrac{1}{6}x^3$$ $$\tan x - x \sim \tfrac{1}{3}x^3$$ $$x - \ln(1+x) \sim \tfrac{1}{2}x^2$$

✅ 只能在乘除中替换：

$$\lim \frac{\sin 2x}{\tan 3x} = \lim \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$$

❌ 在加减中不能直接替换（除非高阶相同）：

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} \ne 0$$

实际 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，分子 $\sim -\frac{x^3}{6}$，极限 = $-\frac{1}{6}$.

Example

$\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{1/3}-1}{\ln(1+2x)}$

$(1+x)^{1/3}-1 \sim \frac{1}{3}x$，$\ln(1+2x) \sim 2x$ → 极限 $= \frac{1/3}{2} = \tfrac{1}{6}$.

当替换不够时，用泰勒展到合适阶数解决加减中等价替换问题。
例：$\sin x - x = -\frac{x^3}{6}+o(x^3)$.

02 · 连续性

间断点的分类与判断。

$f$ 在 $x_0$ 连续 $\Leftrightarrow$

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$$

三个条件：$f(x_0)$ 有定义、$\lim$ 存在、两者相等.

第一类（左右极限均存在）：

可去间断：左 = 右，但 ≠ $f(x_0)$，或 $f(x_0)$ 无定义
跳跃间断：左 ≠ 右

第二类（至少一侧极限不存在）：

无穷间断：$\lim = \infty$
振荡间断：如 $\sin(1/x)$ 在 0

$f \in C[a,b]$ 时：

有界性：必有界
最值：取到最大值、最小值
介值：取遍 $[m, M]$ 之间所有值
零点定理：$f(a)f(b) < 0 \Rightarrow \exists \xi, f(\xi)=0$

应用

证明 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 在 $(0,1)$ 内有根.

$f(x) = x^3 - 3x + 1$，$f(0)=1>0$，$f(1)=-1<0$，连续 → 由零点定理存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $f(\xi)=0$.

03 · 导数

局部线性化的工具。

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ $$\text{或} \quad f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

可导 ⇒ 连续；反之不真（如 $|x|$ 在 0）.

$$(x^a)' = a x^{a-1}$$ $$(\sin x)' = \cos x \quad (\cos x)' = -\sin x$$ $$(\tan x)' = \sec^2 x \quad (\cot x)' = -\csc^2 x$$ $$(e^x)' = e^x \quad (a^x)' = a^x \ln a$$ $$(\ln x)' = \tfrac{1}{x} \quad (\log_a x)' = \tfrac{1}{x\ln a}$$ $$(\arcsin x)' = \tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\arctan x)' = \tfrac{1}{1+x^2}$$

$$(u\pm v)' = u'\pm v'$$ $$(uv)' = u'v + uv'$$ $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ $$[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x) \quad \text{(链式)}$$

$$dy = f'(x)\,dx$$

几何上：导数是切线斜率；微分是切线上对应自变量增量的纵坐标增量.

$\Delta y \approx dy$ 当 $\Delta x \to 0$.

近似计算：$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$.

$$f_-'(x_0), \quad f_+'(x_0)$$

两侧均存在且相等 → 可导（包括等于 0）；不等 → 不可导，如绝对值函数.

03 · 各类求导

链式 · 隐函数 · 参数方程 · 高阶。

$$y = f(u), u = g(x) \Rightarrow y' = f'(u)\cdot g'(x)$$

多层复合一层层乘：$y = f(g(h(x)))$，
$y' = f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)$.

方法 1：两边对 $x$ 求导，把 $y$ 当 $x$ 的函数，提取 $y'$.

方法 2：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

例：$x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow 2x + 2yy' = 0 \Rightarrow y' = -x/y$.

$$x = \varphi(t), y = \psi(t) \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{[\psi'/\varphi']'_t}{\varphi'(t)}$$

$$y^{(n)} = (y^{(n-1)})'$$

常用：

$$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \tfrac{n\pi}{2}\right)$$ $$(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \tfrac{n\pi}{2}\right)$$ $$(e^{ax})^{(n)} = a^n e^{ax}$$ $$\left(\tfrac{1}{x+a}\right)^{(n)} = \tfrac{(-1)^n n!}{(x+a)^{n+1}}$$

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}$$

与二项式定理同形.

Example

求 $(x^2 e^x)^{(10)}$.

$u = x^2, v = e^x$；$u^{(0,1,2)} = x^2, 2x, 2$，更高阶为 0。
$= \binom{10}{0}x^2 e^x + \binom{10}{1}(2x)e^x + \binom{10}{2}(2)e^x$
$= e^x(x^2 + 20x + 90)$.

04 · 微分中值

Rolle · Lagrange · Cauchy · Taylor。

Rolle：$f\in C[a,b]$，可导，$f(a)=f(b)$ $\Rightarrow \exists \xi \in (a,b), f'(\xi)=0$.

Lagrange：$f\in C[a,b]$，可导 $\Rightarrow \exists \xi \in (a,b)$ 使

$$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Cauchy：$\exists \xi$ 使

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

① 见 $f'(\xi) = 0$ → 想 Rolle，构造合适的辅助函数.

② 见 $f'(\xi) \cdot \text{something} = $ 别的导 → 想 Cauchy.

③ $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$ → 直接 Lagrange.

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)$$

Peano 余项：$R_n = o((x-x_0)^n)$
Lagrange 余项：$R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

$$e^x = 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^3}{3!} + \cdots$$ $$\sin x = x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots$$ $$\cos x = 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots$$ $$\ln(1+x) = x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots$$ $$\tfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots$$ $$(1+x)^a = 1 + ax + \tfrac{a(a-1)}{2}x^2 + \cdots$$

04 · 导数的应用

单调 · 极值 · 凹凸 · 渐近线。

$f'(x) > 0$ 在 $I$ → $f$ 在 $I$ 单调递增；$<0$ → 递减.

必要：$f'(x_0) = 0$ 或不存在 → $x_0$ 是驻点 / 不可导点，是极值点的候选.

充分（一阶）：$f'$ 在 $x_0$ 两侧变号 → 极值（+→− 极大；−→+ 极小）.

充分（二阶）：$f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) > 0$ → 极小；$< 0$ → 极大.

在 $[a,b]$ 上：

求所有内部驻点 / 不可导点
计算这些点和端点的函数值
最大 / 最小者即 max / min

$f''(x) > 0$ → 凹（曲线在切线上方，杯形 cup）.

$f''(x) < 0$ → 凸（drop 形）.

$f''(x_0) = 0$ 且两侧变号 → 拐点 $(x_0, f(x_0))$.

水平：$\lim_{x\to\infty} f(x) = b$ → $y = b$.

垂直：$\lim_{x\to a} f(x) = \infty$ → $x = a$.

斜：$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = k$ ($k\ne 0$) 且 $\lim_{x\to\infty}[f(x) - kx] = b$ → $y = kx + b$.

$$K = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

曲率半径 $R = 1/K$.

05 · 积分

三大方法 + 三角代换 + 有理化。

$$\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}+C \;(a\ne-1)$$ $$\int \tfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$$ $$\int e^x\,dx = e^x+C$$ $$\int \sin x\,dx = -\cos x+C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x+C$$ $$\int \tfrac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x+C$$ $$\int \tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x+C$$ $$\int \tfrac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,dx = \ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$$

第一换元（凑微分）：识别 $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ 形式.

常用凑：$dx = d(x+a) = d(2x)/2$，$x\,dx = d(x^2)/2$，$\frac{dx}{x} = d\ln x$.

第二换元（三角代换）：

$$\sqrt{a^2-x^2}\to x = a\sin t$$ $$\sqrt{a^2+x^2}\to x = a\tan t$$ $$\sqrt{x^2-a^2}\to x = a\sec t$$

分部积分：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

口诀 反对幂指三：选 $u$ 时优先反三角，再对数、幂、指、三角.

Example · 分部 + 凑

$\int x \ln x\,dx$

取 $u=\ln x, dv = x dx$，$du = \frac{1}{x}dx, v = \frac{x^2}{2}$.
$= \tfrac{x^2}{2}\ln x - \int \tfrac{x}{2}\,dx = \tfrac{x^2}{2}\ln x - \tfrac{x^2}{4} + C$.

05 · 定积分

性质 + 反常 + 几何应用。

$$\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx$$ $$\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx$$

对称区间 $[-a,a]$：

$f$ 偶 → $2\int_0^a f\,dx$
$f$ 奇 → $0$

积分中值：存在 $\xi$ 使 $\int_a^b f\,dx = f(\xi)(b-a)$.

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt \Rightarrow \Phi'(x) = f(x)$$

Newton-Leibniz：$\int_a^b f\,dx = F(b)-F(a)$，$F$ 为原函数.

无穷限：$\int_a^{+\infty} f$；用 $\lim$ 求.

关键收敛性：

$$\int_a^{+\infty} \tfrac{1}{x^p}\,dx \text{ 收敛} \Leftrightarrow p > 1$$ $$\int_0^1 \tfrac{1}{x^p}\,dx \text{ 收敛} \Leftrightarrow p < 1$$

面积：$A = \int_a^b |f - g|\,dx$.

旋转体体积（绕 $x$ 轴）：$V_x = \pi\int_a^b f^2\,dx$.

绕 $y$ 轴（柱壳法）：$V_y = 2\pi\int_a^b xf\,dx$ (当 $a \ge 0$).

弧长：$L = \int_a^b \sqrt{1+f'^2}\,dx$.

侧面积：$S = 2\pi\int_a^b f\sqrt{1+f'^2}\,dx$.

06 · 多元

偏导 · 全微分 · 链式 · 隐函数。

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$$ $$df = f_x dx + f_y dy$$

关系链：偏导连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续 + 偏导存在.
反向不真！

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$

（混合偏导连续时成立）.

若 $z = f(u,v)$，$u = u(x,y)$，$v = v(x,y)$：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = f_u u_x + f_v v_x$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = f_u u_y + f_v v_y$$

$F(x,y) = 0$，$F_y \ne 0$：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

$F(x,y,z) = 0$，$F_z \ne 0$：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

$$\text{grad} f = \nabla f = (f_x, f_y, f_z)$$ $$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}} = \nabla f \cdot \mathbf{e}_\mathbf{l} = |\nabla f|\cos\theta$$

$\theta = 0$ 时方向导数最大 = $|\nabla f|$，方向 = 梯度方向.

Example

$z = x^2 + y^3$，求 $(1,2)$ 处方向 $(3,4)$ 的方向导数.

$\nabla z = (2x, 3y^2) = (2, 12)$.
$\mathbf{e} = (3,4)/5$，方向导 = $(2 \cdot 3 + 12 \cdot 4)/5 = 54/5$.

06 · 极值

无约束 · 条件极值 · 最值。

必要：$f_x = f_y = 0$ → 驻点.

二阶判别（在驻点）：

$$A = f_{xx}, B = f_{xy}, C = f_{yy}$$

$AC - B^2 > 0$ → 极值：$A > 0$ 极小，$A < 0$ 极大；

$AC - B^2 < 0$ → 鞍点（非极值）；

$AC - B^2 = 0$ → 失效，需进一步判断（如取特殊值看符号变化）.

在约束 $g(x,y) = 0$ 下求 $f(x,y)$ 极值：

$$L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)$$ $$L_x = 0, L_y = 0, L_\lambda = g = 0$$

解出驻点，再比较函数值取最值.

多约束：$L = f + \sum \lambda_i g_i$.

Example

求 $x^2 + y^2 = 1$ 上 $f = xy$ 的最值.

$L = xy + \lambda(x^2+y^2-1)$.
$L_x = y + 2\lambda x = 0$
$L_y = x + 2\lambda y = 0$
$x^2+y^2 = 1$.
解得 $x = \pm y = \pm\frac{\sqrt 2}{2}$ → $xy = \pm\frac{1}{2}$.

① 求内部驻点（$f_x=f_y=0$）+ 边界条件极值（Lagrange）+ 角点；② 比较函数值.

07 · 重积分

二重 · 三重 · 坐标变换。

$$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,dy$$

极坐标：$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，

$$d\sigma = r\,dr\,d\theta$$

适用：被积函数含 $x^2+y^2$ 或区域是圆形.

柱坐标：$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$，$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$.

球坐标：$x = \rho\sin\varphi\cos\theta, y = \rho\sin\varphi\sin\theta, z = \rho\cos\varphi$，

$$dV = \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$$

关于 x 轴对称（$y \to -y$）：

$f$ 是 $y$ 的奇函数 → 积分 = 0
$f$ 是 $y$ 的偶函数 → 2 × 半区域积分

轮换对称：D 关于 $y = x$ 对称 → $\iint f(x,y) = \iint f(y,x)$.

Example

$\iint_D \sqrt{x^2+y^2}\,d\sigma$，$D$ 为 $x^2+y^2 \le 1$ 在第一象限.

用极坐标：$= \int_0^{\pi/2}d\theta \int_0^1 r\cdot r\,dr = \tfrac{\pi}{2} \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{\pi}{6}$.

选积分次序的口诀：内层简洁，外层完整。先画图判区域、再决定 $dxdy$ 或 $dydx$.

08 · 曲线积分

第一型 · 第二型 · Green 公式。

$$\int_L f(x,y)\,ds$$

参数方程 $x = x(t), y = y(t), t\in[\alpha,\beta]$：

$$ds = \sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$$ $$\int_L = \int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$$

与方向无关；可利用对称性.

$$\int_L P\,dx + Q\,dy$$ $$= \int_\alpha^\beta [Px'(t) + Qy'(t)]\,dt$$

与方向有关；反向积分变号.

$L$ 为分段光滑封闭曲线，正向（左手在内）：

$$\oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma$$

将曲线积分化为二重积分.

在单连通域内，下列等价：

积分 $\int_L P\,dx+Q\,dy$ 与路径无关
$\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$ 处处成立
存在 $u$ 使 $du = P\,dx + Q\,dy$
$\oint = 0$ 对任意封闭曲线

Example

$\oint_L (x+y)\,dx + (x-y)\,dy$，$L$ 为单位圆.

$P = x+y, Q = x-y$.
$Q_x - P_y = 1 - 1 = 0$.
$\oint = \iint_D 0\,d\sigma = 0$.

08 · 数一独有

三大公式：Green / Gauss / Stokes。

$$\iint_\Sigma f(x,y,z)\,dS$$

$\Sigma: z = z(x,y), (x,y)\in D$：

$$dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$$

与曲面方向无关，可利用对称性.

$$\iint_\Sigma P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy$$

方向 = 取定的法向（外侧 / 上侧）.

常用：化为投影积分。设 $\Sigma: z = z(x,y)$，上侧为正：

$$\iint_\Sigma R\,dxdy = \iint_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y))\,dxdy$$

$$\oiint_\Sigma P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy$$ $$= \iiint_\Omega \left(P_x + Q_y + R_z\right) dV$$

把闭曲面外侧积分化为三重积分.

$$\oint_L P\,dx + Q\,dy + R\,dz$$ $$= \iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ P & Q & R\end{vmatrix}$$

把空间封闭曲线积分化为以它为边界的曲面积分.

散度 $\text{div}\,\mathbf{F} = P_x+Q_y+R_z$（流出强度）.

旋度 $\text{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F}$（环流强度）.

09 · 级数

正项 · 任意项 · 收敛判别。

级数 $\sum a_n$ 收敛 → $a_n \to 0$.

反之不真（如 $\sum \frac{1}{n}$ 发散但 $\frac{1}{n}\to 0$）.

比较：$0 \le a_n \le b_n$，$\sum b_n$ 收敛 → $\sum a_n$ 收敛.

极限比较：$\lim \frac{a_n}{b_n} = l$，$0 < l < \infty$ → 同敛散.

比值：$\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$，$\rho < 1$ 收敛，$\rho > 1$ 发散，$=1$ 失效.

根值：$\lim \sqrt[n]{a_n} = \rho$，同上.

积分判别：$f$ 在 $[1,\infty)$ 正连续递减，$\sum f(n)$ 与 $\int_1^{\infty}f$ 同敛散.

$$\text{p-级数: } \sum \tfrac{1}{n^p} \text{ 收敛} \Leftrightarrow p > 1$$ $$\text{几何: } \sum r^n \text{ 收敛} \Leftrightarrow |r| < 1$$

$\sum \frac{1}{n\ln^p n}$ 收敛 $\Leftrightarrow p > 1$.

$\sum (-1)^{n-1} a_n$，$a_n > 0$ 单调递减且 $a_n \to 0$ → 收敛.

$\sum |a_n|$ 收敛 → $\sum a_n$ 必收敛（称绝对收敛）.

$\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散 → 条件收敛.

例：$\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 条件收敛.

09 · 幂级数

收敛半径 + 常用展开 + 求和。

$$R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}} \quad \text{或} \quad R = \lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$

收敛域：$|x - x_0| < R$ 内必收敛，$> R$ 必发散，$= R$ 单独判断.

逐项求导 / 积分在 $(-R, R)$ 内成立，半径不变.

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, |x|<1$$ $$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$$ $$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}, -1

Example

求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$.

注意 $\sum x^n = \frac{1}{1-x}$，对两边求导：
$\sum n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$，$|x|<1$.

Example · 积分法

求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$.

先 $\sum x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$，再积分：
$\sum \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x), x\in[-1,1)$.

把级数看成幂级数在某点取值。例：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e^1 = e$$ $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \arctan 1 = \tfrac{\pi}{4}$$

09 · Fourier

周期函数的"频谱分解"。

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx$$

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f$.

$f$ 是奇函数 → 只有 $b_n$ 项（正弦级数）.

$f$ 是偶函数 → 只有 $a_n$ 项（余弦级数）.

$f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上满足：

有限个第一类间断点
有限个极值点

则傅里叶级数在 $x$ 处收敛于：

$f(x)$，若 $x$ 是连续点
$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$，若 $x$ 是间断点

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)$$ $$a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$$

10 · 微分方程

5 种常见类型。

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$$

最基本类型，分离后两边积分.

$$\frac{dy}{dx} = \varphi(y/x)$$

令 $u = y/x$，$y = ux$，$y' = u + xu'$ → 化为可分离.

$$y' + p(x)y = q(x)$$ $$\boxed{y = e^{-\int p\,dx}\left[\int q\, e^{\int p\,dx}\,dx + C\right]}$$

记忆：通解 = 齐次通解 + 非齐次特解.

$$y' + p(x)y = q(x)y^n, n\ne 0,1$$

令 $z = y^{1-n}$ → 化为一阶线性.

$P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$，若 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ → 存在 $u$ 使 $du = Pdx + Qdy$.

求出 $u(x,y) = C$ 即解.

Example

解 $y' - \frac{2y}{x+1} = (x+1)^2$.

$p = -2/(x+1), q = (x+1)^2$.
$\int p\,dx = -2\ln(x+1)$，$e^{\int p\,dx} = (x+1)^{-2}$.
$y = (x+1)^2\left[\int (x+1)^2(x+1)^{-2}dx + C\right]$
$= (x+1)^2(x + C)$.

10 · 高阶

二阶常系数 + 非齐次特解。

$$y'' + py' + qy = 0$$

特征方程：$r^2 + pr + q = 0$，解出 $r_1, r_2$.

情况	通解
$r_1 \ne r_2$ 实数	$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
$r_1 = r_2 = r$	$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$
$\alpha \pm \beta i$ 复根	$y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$

右端形如 $P_m(x) e^{\lambda x}$，设特解：

$$y^* = x^k Q_m(x) e^{\lambda x}$$

$k$ = $\lambda$ 是特征根的重数（0/1/2）.

右端形如 $e^{\alpha x}[P_l\cos\beta x + Q_l\sin\beta x]$，设：

$$y^* = x^k e^{\alpha x}[R_m\cos\beta x + S_m\sin\beta x]$$

$m = \max(l)$；$k$ = $\alpha + \beta i$ 是特征根的重数.

Example

$y'' - 3y' + 2y = e^x$.

齐次：$r^2-3r+2=0$，$r=1,2$.
$\lambda = 1$ 是 1 重根，$k=1$.
设 $y^* = Axe^x$，代入解得 $A=-1$.
通解 $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - xe^x$.

11 · 线代

7 条性质 + Vandermonde + Cramer。

$|A^T| = |A|$（转置不变）
互换两行（列）→ 变号
两行（列）相同 → $|A| = 0$
某行（列）乘 $k$ → $|A|$ 乘 $k$
某行加上另一行 $k$ 倍 → 不变
$|AB| = |A||B|$
$|kA| = k^n |A|$（$n$ 阶方阵）
$|A^{-1}| = 1/|A|$
$|A^*| = |A|^{n-1}$（伴随）

$$V_n = \prod_{1\le i例：$V_3 = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$.

$$|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}$$

$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ 是代数余子式.

主对角线之积；分块上 / 下三角同理.

$$\begin{vmatrix}A & B \\ 0 & C\end{vmatrix} = |A|\cdot |C|$$

$Ax = b$，$|A| \ne 0$：

$$x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$$

$A_i$ 是把 $A$ 第 $i$ 列换为 $b$.

变量超过 3 个时手算很慢，主要作为理论工具.

12 · 矩阵

加减乘 · 转置 · 逆 · 秩。

$(AB)C = A(BC)$ 结合律.

$A(B+C) = AB + AC$ 分配律.

$AB \ne BA$ 一般不交换.

$(AB)^T = B^T A^T$.

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.

$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.

对称：$A^T = A$，$a_{ij}=a_{ji}$
反对称：$A^T = -A$，对角元为 0
正交：$AA^T = I$，$|A| = \pm 1$
幂等：$A^2 = A$
幂零：$A^k = 0$

非零子式的最高阶 = 行最简形中非零行数.

性质：

$r(A) = r(A^T)$
$r(A+B) \le r(A) + r(B)$
$r(AB) \le \min\{r(A), r(B)\}$
$A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $r(A) = n$ $\Leftrightarrow$ $|A| \ne 0$
$r(A^TA) = r(A)$

$$A^* = (\text{代数余子式构成的矩阵})^T$$ $$AA^* = A^*A = |A|\,I$$ $$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$$

性质：$|A^*| = |A|^{n-1}$；$(A^*)^* = |A|^{n-2}A$.

12 · 初等变换

三种行变换 + 求逆三法。

交换两行
某行乘 $k\ne 0$
某行 + 另一行的 $k$ 倍

对应初等矩阵 $E$：

$E$ 左乘 = 行变换
$E$ 右乘 = 列变换
初等矩阵都可逆，其逆仍是初等矩阵

$A \sim B$ 等价：$\exists P, Q$ 可逆使 $PAQ = B$ ⇔ $r(A) = r(B)$.

$A \sim B$ 相似：$P^{-1}AP = B$，特征值相同.

$A \simeq B$ 合同：$C^TAC = B$，惯性指数相同.

① 伴随法 (≤ 3 阶常用)：

$$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$$

② 初等行变换：

$$[A \,|\, I] \xrightarrow{\text{行变}} [I \,|\, A^{-1}]$$

③ 分块矩阵：

$$\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}A^{-1}&0\\0&B^{-1}\end{pmatrix}$$

若 $A$ 可对角化：$A = P\Lambda P^{-1}$，$A^n = P\Lambda^n P^{-1}$
若 $A = uv^T$（秩 1）：$A^n = (v^Tu)^{n-1}A$
若 $A^k = 0$（幂零）：$(I+A)^n$ 用二项式展开（有限项）

13 · 向量组

线性相关 / 无关 + 极大无关组。

$\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 线性相关：

$\exists k_1,\ldots,k_m$ 不全为零，使 $\sum k_i\alpha_i = \mathbf{0}$.

线性无关：上式仅 $k_i$ 全 0 才成立.

等价：$r(\alpha_1,\ldots,\alpha_m) = m$ ⇔ 线性无关；$

$m > n$（个数 > 维数）→ 必相关
含零向量 → 必相关
有两个相等向量 → 必相关
一个向量是其他线性组合 → 相关

① 若 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ 唯一表示 → 该组线性无关.

② 部分相关 → 全体相关；全体无关 → 部分无关.

③ 高维向量加分量后仍无关；低维 → 不一定.

④ $\beta_1, \ldots, \beta_s$ 可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ 表示，$s > r$ → $\beta$ 组必相关.

向量组的秩 = 极大无关组所含向量数.

把向量按列组成矩阵 $A$，化为行最简形：

主元所在的列对应原向量组中的极大无关组
非主元列向量 = 主元列的线性组合（系数即行最简的对应位置）

14 · 方程组

解的存在唯一 + 通解结构。

令 $r = r(A), \bar r = r(A|b)$（增广矩阵秩）.

$r = \bar r = n$ ⇒ 唯一解.

$r = \bar r < n$ ⇒ 无穷多解，自由变量数 = $n - r$.

$r < \bar r$ ⇒ 无解.

恒有零解；非零解 ⇔ $r(A) < n$.

解空间维数 = $n - r$，称基础解系.

解的线性组合仍是齐次的解（解空间是向量空间）.

$$x = \xi^* + k_1\eta_1 + \cdots + k_{n-r}\eta_{n-r}$$

$\xi^*$ = 某个特解；$\{\eta_i\}$ = 对应齐次的基础解系.

解之间关系：非齐次两解之差 = 齐次解.

Example · 求基础解系

$Ax = 0$，$A$ 化为行最简：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

主元在 $x_1, x_2$；自由变量 $x_3, x_4$.
$x_1 = -2x_3 - x_4$，$x_2 = x_3 - 3x_4$.
设 $x_3=1, x_4=0$ → $\eta_1 = (-2, 1, 1, 0)^T$.
设 $x_3=0, x_4=1$ → $\eta_2 = (-1, -3, 0, 1)^T$.
通解 $x = k_1\eta_1 + k_2\eta_2$.

15 · 特征值

从 $Ax = \lambda x$ 到正交对角化。

① 解 $|A - \lambda I| = 0$ → 特征值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$.

② 每个 $\lambda$ 解 $(A - \lambda I)x = 0$ → 特征向量.

$\sum \lambda_i = \text{tr}(A)$（对角线之和）
$\prod \lambda_i = |A|$
$f(A)$ 的特征值 = $f(\lambda)$（多项式映射保留特征值）
$A^{-1}$ 特征值 = $1/\lambda$，特征向量不变
$A^T$ 特征值同 $A$（但特征向量一般不同）
相似矩阵特征值相同

$A$ 可对角化 $\Leftrightarrow$ 有 $n$ 个线性无关特征向量.

充分：$n$ 个互异特征值.

充要：每个 $\lambda_i$ 的几何重数 = 代数重数.

必可对角化
不同特征值的特征向量必相互正交
存在正交矩阵 $Q$ 使 $Q^TAQ = \Lambda$
同一特征值的特征向量可用 Gram-Schmidt 正交化

Example

已知 $A$ 特征值 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -1$，求 $A^5 + A^{-1}$ 的特征值.

$f(\lambda) = \lambda^5 + 1/\lambda$.
$f(2) = 32 + 1/2 = 65/2$.
$f(-1) = -1 + (-1) = -2$.

Gram-Schmidt：从 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots$ 得正交组 $\beta_1, \beta_2, \ldots$：

$$\beta_1 = \alpha_1$$ $$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$$

再单位化即得标准正交.

16 · 二次型

标准形 · 规范形 · 正定。

$$f(x_1,\ldots,x_n) = x^TAx, A=A^T$$

例：$f = x^2 + 2xy + 3y^2$ →
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}$.

$f$ 的秩 = $r(A)$.

方法 1 · 配方法（Lagrange）：逐项凑平方

方法 2 · 正交变换 $x = Qy$，$f = \sum \lambda_i y_i^2$，$\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值

方法 3 · 合同变换 $C^TAC = \Lambda$，初等行 + 列变换同步

$$f = y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_{p+q}^2$$

$p$ = 正惯性指数，$q$ = 负惯性指数。规范形唯一.

$f > 0$ 对所有 $x \ne 0$ → $A$ 正定. 等价条件：

所有特征值 $> 0$
所有顺序主子式 $> 0$（Sylvester 准则）
合同于 $I$（即 $A = P^TP$，$P$ 可逆）
正惯性指数 = $n$

负定：$f < 0$ 对所有 $x\ne 0$ ⇔ 所有特征值 $< 0$ ⇔ 奇数阶主子式 $< 0$，偶数阶 $> 0$.

半正定：$f \ge 0$ ⇔ 所有特征值 $\ge 0$.

Example

判断 $f = 2x^2 + 4xy + 3y^2$ 正定性.

$A = \begin{pmatrix}2 & 2 \\ 2 & 3\end{pmatrix}$，$\det = 6-4 = 2 > 0$，主对角 $2 > 0$ → 正定.

17 · 概率

事件 · 条件 · 独立 · 全概率 · 贝叶斯。

$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$ $$P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = \sum P(A_i) - \sum P(A_iA_j) + P(A_1A_2A_3)$$

对立：$P(\bar A) = 1 - P(A)$.

差：$P(A-B) = P(A) - P(AB)$.

$$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}, P(B) > 0$$ $$P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)$$

独立：$P(AB) = P(A)P(B)$，等价于 $P(A|B) = P(A)$.

独立 ⇒ 不相关，反之不真.

$B_1, \ldots, B_n$ 是完备事件组（互斥且并 = 全空间）：

$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)$$

$$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_j P(A|B_j)P(B_j)}$$

$P(B_i)$ 称先验，$P(B_i|A)$ 称后验.

Example

3 个工厂，产量比 2:3:5，次品率分别 0.02, 0.01, 0.03。随机取一件是次品，问来自厂 1 的概率.

$P(A) = 0.2\cdot0.02 + 0.3\cdot0.01 + 0.5\cdot0.03 = 0.022$.
$P(B_1|A) = \frac{0.2\cdot0.02}{0.022} = \frac{2}{11}$.

18 · 分布

离散 + 连续 + 常见分布。

$$F(x) = P(X \le x)$$ $$P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$$

连续型：$f(x) = F'(x)$，$\int_{-\infty}^{\infty}f = 1$.

性质：$F$ 单调不减、右连续，$F(-\infty) = 0$，$F(+\infty) = 1$.

分布	$P(X=k)$
0-1	$p^k(1-p)^{1-k}$
二项 $B(n,p)$	$C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$
泊松 $P(\lambda)$	$\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
几何	$(1-p)^{k-1}p$，$k\ge 1$
超几何	$\frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

均匀 $U(a,b)$：$f = \frac{1}{b-a}$，$x\in[a,b]$.

指数 $E(\lambda)$：$f = \lambda e^{-\lambda x}$，$x > 0$.
"无记忆性"：$P(X > s+t | X > s) = P(X > t)$.

正态 $N(\mu,\sigma^2)$：$f = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$.

$$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$$ $$P(X\le a) = \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$

对称：$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$.

若 $y = g(x)$ 单调可导，反函数 $x = h(y)$：

$$f_Y(y) = f_X(h(y))\cdot |h'(y)|$$

多段单调时分段处理.

19 · 多维

联合 · 边缘 · 条件 · 独立。

$$F(x,y) = P(X\le x, Y\le y)$$

连续型：$f(x,y)$ 满足 $\iint f = 1$.

性质：$P((X,Y) \in D) = \iint_D f(x,y)\,dxdy$.

$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy$$ $$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dx$$

$$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

给定 $Y=y$ 下 $X$ 的密度.

$X, Y$ 独立 $\Leftrightarrow$

$$F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$$ $$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$$

常见独立分布：正态 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 独立时，
$X+Y \sim N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$.

$(X,Y) \sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$，

边缘 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$.

$\rho = 0$ ⇔ 不相关 ⇔ 独立（二维正态特殊性质）.

卷积公式：

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, z-x)\,dx$$

独立时：$f_Z(z) = \int f_X(x)f_Y(z-x)\,dx$.

20 · 数字特征

期望 · 方差 · 协方差。

离散：$E(X) = \sum_i x_i p_i$.

连续：$E(X) = \int x f(x)\,dx$.

函数：$E[g(X)] = \int g(x) f(x)\,dx$.

线性：$E(aX+b) = aE(X)+b$，$E(X+Y) = E(X)+E(Y)$（恒成立）.

独立时：$E(XY) = E(X)E(Y)$.

$$D(X) = E\{[X-E(X)]^2\} = E(X^2) - [E(X)]^2$$

$D(aX+b) = a^2 D(X)$.

独立时：$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$.

一般：$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$.

分布	E	D
$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
$P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$
$U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
$E(\lambda)$	$1/\lambda$	$1/\lambda^2$
$N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2$

$$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$$

性质：

$\text{Cov}(X,Y) = \text{Cov}(Y,X)$
$\text{Cov}(aX+b, cY+d) = ac\,\text{Cov}(X,Y)$
$\text{Cov}(X_1+X_2, Y) = \text{Cov}(X_1,Y) + \text{Cov}(X_2,Y)$
$\text{Cov}(X,X) = D(X)$

$$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} \in [-1,1]$$

$\rho = 0$ → 不相关（仅指线性无关）.

$|\rho| = 1$ ⇔ 存在 $a,b$ 使 $Y = aX+b$ 几乎处处成立.

Tip

$D(\bar X)$ 怎么求？

$\bar X = \frac{1}{n}\sum X_i$，若 $X_i$ 独立同 $D(X_i) = \sigma^2$：
$D(\bar X) = \frac{1}{n^2}\sum D(X_i) = \frac{\sigma^2}{n}$.

21 · 极限定理

大数律 + 中心极限定理。

$$P(|X-\mu| \ge \varepsilon) \le \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$$

不要求知道分布，只需要 E 和 D。用于估计概率上界.

切比雪夫大数律：$X_i$ 两两不相关、方差有共同上界 → $\frac{1}{n}\sum X_i \xrightarrow{P} \frac{1}{n}\sum E(X_i)$.

伯努利大数律：n 次独立试验，事件 A 发生频率 $\xrightarrow{P}$ 概率.

辛钦大数律：独立同分布、E 存在 → $\frac{1}{n}\sum X_i \xrightarrow{P} \mu$.

$\xrightarrow{P}$ 称依概率收敛.

$X_1, X_2, \ldots$ 独立同分布，$E(X_i) = \mu$，$D(X_i) = \sigma^2$，则：

$$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt n \sigma} \xrightarrow{d} N(0,1)$$

等价：当 $n$ 较大时，

$$\sum_{i=1}^n X_i \approx N(n\mu, n\sigma^2)$$ $$\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$$

二项 $B(n,p)$ 的中心极限：当 $n$ 大、$np \ge 5$、$n(1-p) \ge 5$：

$$\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx N(0,1)$$

可用正态近似计算二项概率.

Example

$n = 100$，每次抽 $X_i \sim U(0,1)$，求 $P(\sum X_i > 55)$.

$\mu = 0.5, \sigma^2 = 1/12$.
$\sum X_i \approx N(50, 100/12)$, $\sigma\approx 2.89$.
$P(>55) = P(Z > 5/2.89) = P(Z > 1.73) \approx 0.042$.

22 · 统计

三大抽样分布 + 估计 + 检验。

$$\bar X = \frac{1}{n}\sum X_i \quad S^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$$

$E(\bar X) = \mu$，$D(\bar X) = \sigma^2/n$.

$E(S^2) = \sigma^2$（这就是除以 $n-1$ 的原因）.

卡方 $\chi^2(n) = \sum_{i=1}^n Z_i^2$，$Z_i\sim N(0,1)$ 独立。

t 分布 $t(n) = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2(n)/n}}$，关于 0 对称。

F 分布 $F(n_1,n_2) = \frac{\chi^2(n_1)/n_1}{\chi^2(n_2)/n_2}$。

$\bar X \sim N(\mu, \sigma^2/n)$.

$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$.

$\bar X$ 与 $S^2$ 相互独立.

$\frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt n} \sim t(n-1)$.

矩估计：用样本矩代替总体矩：$E(X) = \bar X$，$D(X) = S^2$. 列方程解 $\hat\theta$.

极大似然估计：

$$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$$

取 $\ln L$ 求导，令 = 0，解 $\hat\theta$.

$\mu$ 的置信区间（$\sigma^2$ 未知）：

$$\bar X \pm t_{\alpha/2}(n-1)\cdot \frac{S}{\sqrt n}$$

$\sigma^2$ 的置信区间：

$$\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right)$$

$H_0$：原假设；$H_1$：备择.

两类错误：

第一类（弃真）：拒绝真的 $H_0$，概率 $\alpha$
第二类（取伪）：接受假的 $H_0$，概率 $\beta$

常用：$Z$ 检验（$\sigma$ 已知）、$t$ 检验（$\sigma$ 未知）、$\chi^2$ 检验（方差或拟合优度）.

// summary

三大块串成一张图。

高数 4 大模块

① 极限连续 / 一元微积分
② 多元微积分
③ 重积分 / 曲线曲面 / 三大公式
④ 级数 / 微分方程

必会公式：泰勒展开 6 个、等价无穷小 10 个、基本积分 8 个、中值定理 3 个.

线代 6 主题

① 行列式（性质 + Cramer）
② 矩阵（运算 + 秩 + 逆）
③ 向量组（相关 / 极大无关）
④ 线性方程组（解结构）
⑤ 特征值（对角化）
⑥ 二次型（正定）

主线：方程组 → 矩阵 → 特征值，几乎每道大题都涉及.

概统 5 阶段

① 概率 / 全概率 / Bayes
② 一维随机变量 / 常见分布
③ 多维 / 边缘 / 独立
④ 数字特征 / 协方差
⑤ 大数律 / 中心极限 / 统计

5 个常见分布的 E/D 务必背熟.

📚 最后的备考建议

真题反推考点：把 5 年真题分专题做完，标注每题的"对应教材章节 + 知识点"，然后回到本站对应那张卡片巩固。
所有定理、公式、技巧的"为什么"都要弄清楚 — 否则换个外壳就不会。